高等数学常用工具

夹逼定理

$$当x \in U(x_0,r)时，有g(x)\leqslant f(x) \leqslant h(x)成立，并且\lim_{x \to x_0}g(x)=A，\lim_{x \to x_0}h(x)=A，那么 \\ \lim_{x \to x_0}f(x)=A$$

导数

导数是曲线的斜率，表征曲线变化的快慢；

二阶导数表征曲线的凸凹性，体现斜率变化的快慢；

泰勒公式（Taylor）

$$f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x) \\ 当x_0=0时，即为麦克劳林公式(Maclaurin) \\ f(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$$